В российской и постсоветской образовательной практике номер 1218 наиболее широко известен как номер задачи из учебников по алгебре для 7 класса (авторы: А.Г. Мерзляк, В.Б. Нефедов, К.И. Нефедова; а также О. Істер в украинской программе НУШ). Данная задача является классическим примером задачи на доказательство свойств натуральных чисел, использующую прием «свертки» многочлена в полный квадрат.
Содержание задачи
Согласно данным открытых источников (ГДЗ, решебники, образовательные порталы вроде GDZIster.net, Skysmart, kzgdz.com), условие задачи звучит следующим образом:
Задача № 1218 (Алгебра, 7 класс):
Доказать, что произведение четырех последовательных натуральных чисел, увеличенное на 1, является полным квадратом.
Подробное решение и доказательство
Решение этой задачи демонстрирует важный алгебраический прием — группировку множителей для выделения квадрата разности или суммы. Ниже приведен полный ход доказательства, основанный на первоисточнике (источник [6]).
Пусть x — первое натуральное число. Тогда четыре последовательных натуральных числа можно записать как:
- x
- x + 1
- x + 2
- x + 3
Запись выражения
Произведение этих чисел, увеличенное на 1:
P = x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1
Умная группировка множителей (ключевой этап)
Сгруппируем первый множитель с последним, а второй — с третьим. Это позволяет получить выражения, отличающиеся на константу:
P = [x(x + 3)] · [(x + 1)(x + 2)] + 1
Раскрытие скобок внутри групп - x(x + 3) = x² + 3x
- (x + 1)(x + 2) = x² + 3x + 2
Замечаем, что второе выражение на 2 больше первого. Обозначим t = x² + 3x.
Подстановка и приведение к полному квадрату
Тогда исходное выражение принимает вид:
P = t(t + 2) + 1 = t² + 2t + 1
Полученный трехчлен является полным квадратом по формуле (a + b)² = a² + 2ab + b²:
P = (t + 1)²
Возврат к исходной переменной
Подставим обратно значение t:
P = (x² + 3x + 1)²
Поскольку x — натуральное число, то выражение x² + 3x + 1 также является натуральным числом. Следовательно, P — это квадрат натурального числа, что и требовалось доказать.
Педагогическая ценность задачи
Задача № 1218 входит в раздел «Идентичности» или «Преобразование алгебраических выражений» (обычно конец 7 класса). Ее решение развивает у учащихся следующие навыки:
- Умение вводить вспомогательные переменные (замена x² + 3x на t) для упрощения громоздких выражений.
- Навык «правильной» группировки множителей. Группировка «первый с последним» и «второй с третьим» здесь не интуитивна для новичка, но она единственная (или самая простая), ведущая к успеху. Группировка «первый со вторым» и «третий с четвертым» привела бы к полиному 4-й степени, который сложнее факторизовать.
- Распознавание формул сокращенного умножения в неочевидном виде (выделение полного квадрата из t² + 2t + 1).
- Навык строгого математического доказательства: от условия к выводу через цепочку тождественных преобразований.
Распространенные ошибки учеников - Неправильная группировка: Попытка перемножить (x)(x+1) и (x+2)(x+3). Это дает (x²+x)(x²+5x+6), что не ведет к очевидному квадрату.
- Арифметические ошибки при раскрытии скобок: (x+1)(x+2) = x² + 2x + 2 (забыт член x).
- Отсутствие заключительного утверждения: ученик получает (x²+3x+1)², но не пишет фразу «Так как x натуральное, то выражение в скобках натурально, значит произведение — полный квадрат», теряя балл за обоснование.
Аналоги и обобщения
Данная задача является частным случаем более общей теоремы:
Произведение k последовательных натуральных чисел, увеличенное на определенную константу, может быть полным квадратом.
Для k=4 константа равна 1. Интересно отметить, что для k=2 (произведение двух соседних чисел n(n+1)) добавление 1/4 дает квадрат (n+0.5)², но в натуральных числах это не работает. Для k=3 добавление 1 не дает квадрат в общем случае.
Где найти задачу (Учебники и ресурсы)
Исходя из проиндексированных интернет-источников (на ), задача № 1218 встречается в:
- Мерзляк А.Г. и др. «Алгебра 7 класс» (Раздел «Идентичности», параграф «Вынесение общего множителя за скобку» / «Группировка» / «Формулы сокращенного умножения»). На сайте Skysmart она размещена в номерах 1218–1226.
- Істер О. «Алгебра 7 клас» (НУШ, 2024) — Розділ 4. СИСТЕМИ. §28. Розв’язування систем двох лінійних рівнянь підстановкою (на сайте GDZIster.net приведена именно эта задача как № 1218 / № 55.26).
- Абылкасымов А. «Математика 6 класс» (Мектеп, 2018) — Глава 9. Зависимости между величинами. 50. Прямая пропорциональность (сайт kzgdz.com). *Примечание: здесь номер может совпасть случайно, так как тема другая (пропорциональность), либо это другая задача под тем же номером.
Задача № 1218 по алгебре 7 класса — это эталонная «олимпиадная» задача внутри школьного курса, которая проверяет не зубрежку формул, а гибкость алгебраического мышления. Ее решение — прекрасная иллюстрация того, как правильный выбор структуры выражения (группировка симметричных пар) преобразует сложную задачу в элементарное применение формулы (a+b)². Работа с такой задачей обязательна для качественной подготовки к ОГЭ/ЕГЭ и математических олимпиад начального уровня.
Статья подготовлена на основе открытых данных образовательных порталов (GDZIster, Skysmart, kzgdz) по состоянию на 23 июля 2026 года.